一、线段树基本概念
线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。 对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。
性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍
二、线段树的存储数据结构
由上面的图可以看出，存储一颗线段树和二叉树有点类似，需要左孩子和右孩子节点，另外，为了存储每条线段出现的次数，所以一般会加上计数的元素，其具体如下：
- struct Node // 线段树
- {
- int left;
- int right;
- int counter;
- }segTree[4*BORDER];
struct Node // 线段树{ int left; int right; int counter;}segTree[4*BORDER]; 其中，;left代表 左端点、right代表右端点，counter代表每条线段出现的次数，BORDE代表线段端点坐标不超过100。由上面的性质可以知道，我们需要4倍的空间来存储。 三、线段树支持的操作
一颗线段树至少支持以下四个操作：
- void construct(int index, int lef, int rig)，构建线段树 根节点开始构建区间[lef,rig]的线段树
- void insert(int index, int start, int end)，插入线段[start,end]到线段树, 同时计数区间次数
- int query(int index, int x)，查询点x的出现次数，从根节点开始到[x,x]叶子的这条路径中所有点计数相加方为x出现次数
- void delete_ (int c , int d, int index)，从线段树中删除线段[c,d]
具体操作如下：
1、线段树的创建
- /* 构建线段树 根节点开始构建区间[lef,rig]的线段树*/
- void construct(int index, int lef, int rig)
- {
- segTree[index].left = lef;
- segTree[index].right = rig;
- if(lef == rig) // 叶节点
- {
- segTree[index].counter = 0;
- return;
- }
- int mid = (lef+rig) >> 1;
- construct((index<<1)+1, lef, mid);
- construct((index<<1)+2, mid+1, rig);
- segTree[index].counter = 0;
- }
/* 构建线段树 根节点开始构建区间[lef,rig]的线段树*/void construct(int index, int lef, int rig){ segTree[index].left = lef; segTree[index].right = rig; if(lef == rig) // 叶节点 { segTree[index].counter = 0; return; } int mid = (lef+rig) >> 1; construct((index<<1)+1, lef, mid); construct((index<<1)+2, mid+1, rig); segTree[index].counter = 0;} 2、线段树的元素插入
- /* 插入线段[start,end]到线段树, 同时计数区间次数 */
- void insert(int index, int start, int end)
- {
- if(segTree[index].left == start && segTree[index].right == end)
- {
- ++segTree[index].counter;
- return;
- }
- int mid = (segTree[index].left + segTree[index].right) >> 1;
- if(end <= mid)//左子树
- {
- insert((index<<1)+1, start, end);
- }else if(start > mid)//右子树
- {
- insert((index<<1)+2, start, end);
- }else//分开来了
- {
- insert((index<<1)+1, start, mid);
- insert((index<<1)+2, mid+1, end);
- }
- }
/* 插入线段[start,end]到线段树, 同时计数区间次数 */void insert(int index, int start, int end){ if(segTree[index].left == start && segTree[index].right == end) { ++segTree[index].counter; return; } int mid = (segTree[index].left + segTree[index].right) >> 1; if(end <= mid)//左子树 { insert((index<<1)+1, start, end); }else if(start > mid)//右子树 { insert((index<<1)+2, start, end); }else//分开来了 { insert((index<<1)+1, start, mid); insert((index<<1)+2, mid+1, end); }} 3、线段树的元素查找
- /* 查询点x的出现次数
- * 从根节点开始到[x,x]叶子的这条路径中所有点计数相加方为x出现次数
- */
- int query(int index, int x)
- {
- if(segTree[index].left == segTree[index].right) // 走到叶子，返回
- {
- return segTree[index].counter;
- }
- int mid = (segTree[index].left+segTree[index].right) >> 1;
- if(x <= mid)
- {
- return segTree[index].counter + query((index<<1)+1,x);
- }
- return segTree[index].counter + query((index<<1)+2,x);
- }
/* 查询点x的出现次数 * 从根节点开始到[x,x]叶子的这条路径中所有点计数相加方为x出现次数 */int query(int index, int x){ if(segTree[index].left == segTree[index].right) // 走到叶子，返回 { return segTree[index].counter; } int mid = (segTree[index].left+segTree[index].right) >> 1; if(x <= mid) { return segTree[index].counter + query((index<<1)+1,x); } return segTree[index].counter + query((index<<1)+2,x);} 4、线段树的元素删除
- void delete_ (int c , int d, int index)
- {
- if(c <= segTree[index].left && d >= segTree[index].right)
- segTree[index].counter--;
- else
- {
- if(c < (segTree[index].left + segTree[index].right)/2 ) delete_( c,d, segTree[index].left);
- if(d > (segTree[index].left + segTree[index].right)/2 ) delete_( c,d, segTree[index].right);
- }
- }
void delete_ (int c , int d, int index){ if(c <= segTree[index].left && d >= segTree[index].right) segTree[index].counter--; else { if(c < (segTree[index].left + segTree[index].right)/2 ) delete_( c,d, segTree[index].left); if(d > (segTree[index].left + segTree[index].right)/2 ) delete_( c,d, segTree[index].right); }} 四、线段树的应用
- 区间最值查询问题
- 连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题
- 多维空间的动态查询